**一、Gram-Schmidt 算法原理**
Gram-Schmidt正交化的过程可以概述如下：
1. 对于给定的一组基 vectors {v₁, v₂,...vn}：
- 首先令 u₁ = v₁/||v₁||
2. 通过逐次投影消除后续向量与已构建出的所有正交基之间的共线部分来构造新的正交向量：
- 计算对于每一个 k (从2到n)，uₖ首先等于vk，
接着对所有之前得到的正交单位向量执行减法操作：
for j=1 to k-1,
uₖ=uₖ-(⟨uk,uⱼ⟩ / ⟨uⱼ,uⱼ⟩) * uⱼ
最后规范化这个新向量以获得 uk=/|uk|
3. 经过这一系列迭代之后，我们就得到了一个新的正交归一化的向量子集{u₁, u₂,...un}。
**二、MATLAB 实现示例**
以下是一个使用MATLAB实施Gram-Schmidt正交化的基本代码片段:
matlab
% 假设原始向量化为 A=[a,b,c,d]...
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
[m,n]=size(A); % 获取矩阵维度
Q = zeros(m,n);
R = [];
for i = 1:n
vi = A(:,i);
for j = 1:i-1
vj = Q(:,j);
proj = dot(vi,vj)/dot(vj,vj)*vj;
vi = vi-proj;
end
ui = vi/norm(vi);
Q(:,i)=ui;
end
disp('Orthogonal basis:');
disp(Q)
上述程序段会逐步处理输入矩阵 `A` 的列作为初始向量序列，在每一步都将当前向量与其前面已经生成的正交子空间做“垂直”校准并标准化，最终输出正交化后的结果存放在矩阵 `Q` 中。
**三、应用场景举例**
一个典型的应用场景是求解最小平方误差下的最优近似问题或者是在希尔伯特空间中的坐标变换等。例如，在有限元素分析或信号处理等领域里，往往需要寻找特定函数空间内的最佳正交基以便简化运算复杂度以及优化算法效率。此时就可以运用Gram-Schmidt正交化技术，借助如MATLAB这样的高效平台快速准确地完成相关任务。