在数学领域中，求解一个已知函数y=f(x)的反函数是一个常见的问题。这里我们将详细探讨和解析函数 y = sin(x²) 的反函数。
首先理解一下什么是反函数：对于连续单调的一对一映射函数f与它的定义域D上的每一个x值对应唯一确定的一个y值，则存在其逆关系g使得若f(a)=b，则有g(b)=a成立，并且这个新的函数g就称为原函数f的反函数。
然而，函数y=sin(x²)并不是严格意义上一一对应的（单射），因为sin函数本身会在[-1, 1]范围内多次取相同的值；但是我们可以考虑它在一个特定区间内的局部反函数。
要寻找y = sin(x²)的“部分”反函数，我们首先要对其进行变换以找到能够表示为x关于y的关系式的过程：
令u=x²，那么得到：
y = sin(u)
接下来的目标是将此方程改写成 u 关于 y的形式。由于正弦函数不是可轻易进行因变量分离的初等函数形式，因此不能直接通过基本代数方法来求得显式的反函数表达式。但可以通过数值或图形的方法寻求近似解或者利用牛顿迭代法、二分搜索算法等方式逐次逼近某个给定y值得到相应的x值。
具体步骤如下：
假设知道y∈(-1,1)，欲找出满足条件的 x (即 sqrt(sin^(-1)(y)) ) 。可以设定初始猜测值并通过以下迭代公式更新直到达到足够精度为止：
xn+1 = √(sin^-1(y) + xn - [xn]^2 )
这样虽然无法得出封闭形式的反函数解析式，但我们已经提供了一种计算思路去解决"给定了y如何找符合条件的x的问题”。
总结来说，在实际应用过程中，尤其是涉及到如y=sin(x²)这类复杂非线性函数时，往往需要借助计算机程序实现对其反函数的具体运算操作而难以获得简洁明了的闭合形式解析表达式。尽管如此，这种探索过程仍然展示了数学中的逻辑推理能力和解决问题的实际技巧。
